Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o eneágono - 051

Eneágono é um polígono regular formado por 9 lados com a mesma medida e também por 9 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do eneágono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários eneágonos equidistantes e numerando os seus vértices em sentido horário a partir do eneágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no eneágono

A disposição dos números a partir de cada vértice, apresenta-se de forma mesclada, isto é, há vértices com alternância entre números impares e pares e há vértices com alternância entre pares e ímpares.

Uma outra disposição interessante que caracteriza a distribuição dos números no eneágono são os multiplos de 3.

Unindo-se os vértices C, F e I, forma-se uma triangulação de números múltiplos de 3, de forma que nesta triangulação, apenas apareça um só número primo, o número 3 no vértice C.

No vértice I, há números que são simultaneamente múltiplos de 3 e de 9.

O eneágono por ser um polígono regular de 9 lados e 9 ser um múltiplo de 3, os múltiplos de 3 são distribuídos em 3 vértices equitativamente a medida que se acrecenta mais eneágonos, formando um triângulo.

Excluindo-se os números múltiplos de 3 e conservando ele próprio, excluindo-se os demais números pares de todos os vértices, consegue-se ter uma visão geral de como os números primos são distribuídos na figura do eneágono.

O número primo 3 aparece em um só vértice e os demais primos aparecem totalmente dispersos, distribuídos nos outros 6 vértices.

Há três duplas de vértices: (A e H), (B e G) e (D e E), cujas somas em cada eneágono têm como resultados números ímpares múltiplos de 9 que se encontram no vértice I em eneágonos de ordem ímpar.

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do eneágono central têm-se as nove principais sequências numéricas do eneágono.

A diferença entre um número posterior e anterior de cada vértice é de 9 unidades.

1) Vértice A tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 1, 10, 19, 28, 37, ..., entre eles, números primos.

10 - 1 = 9

2) Vértice B tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares : 2, 11, 20, 29, 38, ..., entre eles, números primos.

11 - 2 = 9

3) Vértice C tem-se a seguinte sequência dos múltiplos de 3 : 3, 12, 21, 30, 39, ...

12 - 3 = 9

4) Vértice D tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares : 4, 13, 22, 31, 40, ..., entre eles, números primos.

13 - 4 = 9

5) Vértice E tem-se a seguinte sequência de números ímpares e pares : 5, 14, 23, 32, 41, ..., entre eles, números primos.

14 - 5 = 9

6) Vértice F tem-se a seguinte sequência dos múltiplos de 3: 6, 15, 24, 33, 42, ...

15-6=9

7) Vértice G tem-se a seguinte sequência números ímpares e pares 7, 16, 25, 34, 43, ..., entre eles, números primos.

16 - 7 = 9

8) Vértice H tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 8, 17, 26, 35, 44, ..., entre eles, números primos.

16 - 8 = 8

9) Vértice I tem-se a seguinte sequência dos múltiplos de 3 e de 9: 9, 18, 27, 36, 45, ..., entre eles, números primos.

18 - 9 = 9

A soma dos vértices A e B, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultados números múltiplos ímpares de 3 que se encontram no vértice C de eneágono de ordem ímpar.

1) A soma dos vértices A e B do primeiro eneágono.

1 + 2 = 3

O 3 está no vértice C do primeiro eneágono

2) A soma dos vértices A e B do segundo eneágono.

10 + 11 = 21

O 21 está no vértice C do terceiro eneágono

3) A soma dos vértices A e B do terceiro eneágono.

19 + 20 = 39

O 39 está no vértice C do quinto eneágono

A soma dos vértices B e C, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice E em eneágonos de ordem ímpar.

1) A soma dos vértices B e C do primeiro eneágono.

2 + 3 = 5

O 5 está no vértice E do primeiro eneágono

2) A soma dos vértices B e C do segundo eneágono.

11 + 12 = 23

O 23 está no vértice E do terceiro eneágono

3) A soma dos vértices B e C do terceiro eneágono.

20 + 21 = 41

O 41 está no vértice E do quinto eneágono

A soma dos vértices C e D, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice G em eneágonos de ordem ímpar.

A soma dos vértices D e E, corresponde a um número do vértice I

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice I em eneágonos de ordem ímpar.

A soma dos vértices E e F, corresponde a um número do vértice B

Somando-se números dos vértices E e F, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice B em eneágonos de ordem par.

A soma dos vértices F e G, corresponde a um número do vértice D

Somando-se números dos vértices F e G, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice D em eneágonos de ordem par.

A soma dos vértices G e H, corresponde a um número do vértice F

Somando-se números dos vértices G e H, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice F em eneágonos de ordem par.

A soma dos vértices H e I, corresponde a um número do vértice H

Somando-se números dos vértices H e I, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice H em eneágonos de ordem par.

Números figurados nonagonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números nonagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325... (células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 10, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 10 e 28 - 1 intervalo

entre 28 e 55 - 2 intervalos

entre 55 e 91 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados nonagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados hendecagonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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