Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o heptágono - 049

Heptágono é um polígono regular formado por 7 lados com a mesma medida e também por 7 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do heptágono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários heptágonos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do topo do heptágono central, obtêm-se 7 sequências numéricas apresentadas a seguir.

As sequências numéricas no heptágono

Por ser um polígono com 7 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas por sequências com números ímpares e pares e sequências com pares e ímpares.

No vértice G, concentra-se os múltiplos de 7: (7, 14, 21, 28,...) e um só número primo, o próprio número 7.

Os demais números primos estão distribuídos de forma bem dispersa pelos outros 6 vértices dos heptágonos (círculos pretos).

Há três duplas de vértices: (A e F), (B e E) e (C e D) cujas somas em cada heptágono têm como resultados números múltiplos de 7 que se encontram no vértice G.

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do heptágono central têm-se as sete sequências numéricas do heptágono.

A diferença entre um número posterior e anterior de cada vértice são de 7 unidades.

No vértice G, onde estão os múltiplos de 7, só há um número primo, o próprio 7.

1) Vértice A - tem-se a seguinte sequência de números ímpares e pares: 1, 8, 15, 22, 29, ...

São números que ao serem divididos por 7 deixam resto 1.

Observação: no vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números heptagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 8, 22, 43, 106, 148, 197, 253, ... (células amarelas)

2) Vértice B - tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 2, 9, 16, 23, 30, ...

São números que ao serem divididos por 7 deixam resto 12.

3) Vértice C - tem-se a sequência de números ímpares e pares: 3, 10, 17, 24, 31, ...

São números que ao serem divididos por 7 deixam resto 3.

4) Vértice D - tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 4, 11, 18, 25, 32, ...

São números que ao serem divididos por 7 deixam resto 4.

5) Vértice E - tem-se a seguinte sequência de números ímpares e pares: 5, 12, 19, 26, 33, ...

São números que ao serem divididos por 7 deixam resto 5.

6) Vértice F - tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 6, 13, 20, 27, 34, ...

São números que ao serem divididos por 7 deixam resto 6.

7) Vértice G tem-se a sequência dos múltiplos de 7: 7, 14, 21, 28, 35, ...

São números que ao serem divididos por 7 deixam resto 0.

A soma dos vértices A e B, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, têm-se como resultados números ímpares que se encontram no vértice C.

1) A soma dos vértices A e B do primeiro heptágono.

1 + 2 = 3

O 3 está no vértice C do primeiro heptágono

2) A soma dos vértices A e B do segundo heptágono.

8 + 9 = 17

O 17 está no vértice C do terceiro heptágono

3) A soma dos vértices A e B do terceiro heptágono.

15 + 16 = 31

O 31 está no vértice C do quinto heptágono

A soma dos vértices B e C, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, têm-se como resultados números ímpares que se encontram no vértice D.

1) A soma dos vértices B e C do primeiro heptágono.

2 + 3 = 5

O 5 está no vértice E do primeiro heptágono

2) A soma dos vértices B e C do segundo heptágono.

9 + 10 = 19

O 19 está no vértice E do terceiro heptágono

3) A soma dos vértices B e C do terceiro heptágono.

16 + 17 = 33

O 33 está no vértice E do quinto heptágono

A soma dos vértices C e D, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices C e D, têm-se como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices C e D estão opostos ao vértice G, formando um triângulo (cor vermelho).

Os resultados da soma dos vértices A e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

1) A soma dos vértices C e D do primeiro heptágono.

3 + 4 = 7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono 1x7=7

2) A soma dos vértices C e D do segundo heptágono.

10 + 11 = 21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono 3x7=21

A soma dos vértices D e E, corresponde a um número do vértice B

Somando-se números dos vértices D e E, têm-se como resultados números que se encontram no vértice B.

1) A soma dos vértices D e E do primeiro heptágono.

4 + 5 = 9

O 9 está no vértice B do segundo heptágono

2) A soma dos vértices D e E do segundo heptágono.

11 + 12 = 23

O 23 está no vértice B do quarto heptágono

3) A soma dos vértices D e E do terceiro heptágono.

18 + 19 = 37

O 37 está no vértice B do sexto heptágono

A soma dos vértices E e F, corresponde a um número do vértice D

Somando-se números dos vértices E e F, têm-se como resultados números que se encontram no vértice D.

1) A soma dos vértices E e F do primeiro heptágono.

5 + 6 = 11

O 11 está no vértice D do segundo heptágono

2) A soma dos vértices E e F do segundo heptágono.

12 + 13 = 25

O 25 está no vértice D do quarto heptágono

3) A soma dos vértices E e F do terceiro heptágono.

19 + 20 = 29

O 29 está no vértice D do sexto heptágono

A soma dos vértices A e F, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices A e F, têm-se como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices A, F e G formam um triângulo (cor azul).

Os resultados da soma dos vértices A e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

1) A soma dos vértices A e F do primeiro heptágono.

1 + 6 = 7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono. Obs: 1x7=7

2) A soma dos vértices A e F do segundo heptágono.

8 + 13 = 21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono. Obs: 3x7=21

A soma dos vértices B e E, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices B e E, têm-se como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices B, F e G, formam um triângulo (cor verde).

Os resultados da soma dos vértices B e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

1) A soma dos vértices B e F do primeiro heptágono.

2 + 5 = 7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono.

Obs: 1 x 7 = 7

2) A soma dos vértices B e F do segundo heptágono.

9 + 12 = 21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono.

Obs: 3 x 7 = 21

As médias aritméticas

1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E.

4) O vértice E é a média aritmética dos vértices D e F.

5) O vértice F é a média aritmética dos vértices E e G.

Números figurados heptagonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números heptagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 8, 22, 43, 106, 148, 197, 253, ... (células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 8, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 8 e 22 - 1 intervalo

entre 22 e 43 - 2 intervalos

entre 43 e 106 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados heptagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados nonagonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Aritmética do Relógio / Aritmética Modular no Heptágono

Outra propriedade que pode ser extraído do diagrama de heptágonos equistantes com vértices numerados é a Aritmética do Relógio, também denominada de Aritmética Modular, Aritmética Módulo M, conceitos estes desenvolvidos pelos matemáticos Carl Friedrich Gauss e Leonhard Euler.

No vértice G, como se observa, tende a se concentrar a sequência de múltiplos de 7, isto é, números que quando divididos por 7, deixam resto 0 (zero).

Nos vértices A, B, C, D, E e F podemos dizer que tem algo de "especial", são números que quando divididos por 7 deixam restos 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 respectivamente.

Este fato de sobrar restos em divisões entre números inteiros fez surgir o conceito de congruência / equivalência entre números.

Partindo-se do "marcador 0" e girando em sentido horário tantos vértices que se queira, ao pararmos em determinado número e dividirmos esse número por 7, os possíveis restos podem ser: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Dái podemos dizer:

1) um número é congruente / equivalente a outro número, no nosso exemplo (módulo 7), porque quando dividido por 7 podem deixar os seguintes restos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6;

a ≡ b (módulo m)

a e b ao serem divididos por m deixam restos iguais.

o sinal (≡), com 3 traços simboliza congruência.

Exemplo:

8 ≡ 15 (módulo 7)

8 e 15 deixam resto 1 quando divididos por 7.

8 : 7 = 1 e resto 1

15 : 7 = 2 e resto 1

2) ou também a e b serão congruentes módulo m quando b-a for divisível por m;

Exemplo:

8 ≡ 15 (módulo 7)

porquê

15 - 8 = 7

7 é divisível por 7

A Aritmética Modular / Aritmética Módulo M / Aritmética do Relógio é um ramo da Teoria dos Números e têm diversas aplicações, entre elas, a Criptografia.

Número Primos

As propriedades abaixo, foram constatadas pelo Colaborador do WebSite Os Fantásticos Números Primos, o Sr. Aristóteles Costa, Entusiasta Matemático.

Observando a tabela Heptágono e Sequências Numéricas em sentido vertical, contata-se que nas células, as sequências numéricas são formadas por números pares e ímpares e vice-versa alternados, não há dois números primos sequências, isto é, um número primo perto do outro.

Observando a tabela em sentidos:

a) da diagonal principal, a diferença entre dois números é 8, e as sequências são formadas alternadamente somente por números pares e somente por números ímpares;

b) da diagonal secundária, a diferença entre dois número é 6 e as sequências são formadas alternadamente somente por números pares e somente por números ímpares;

c) a soma das diferenças 8 e 6 é 14 e é múltiplo de 7.

Em sentido da diagonal principal, há ocorrências de progressões aritméticas de números primos (células azuis).

Em sentido da diagonal secundária, há ocorrências de progressões aritméticas de números primos (células verdes).

Interessante observar que entre duas diagonais secundárias de sequências de números primos (células verdes), há entre elas, ocorrências de números retangulares alinhados nas diagonais secundárias (células laranjas), dividindo duas sequências de números primos, propriedades estas, semelhantes as divulgadas no estudo:

011-estudos-395-triangulo-numerico-3-numeros-quadrados-retangulares-primos-gemeos

Autor: Ricardo Silva

atualizado em maio/2025

atualizado em abril /2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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