logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o quadrado - 046

Quadrado é um polígono regular formado por 4 lados com a mesma medida e também por 4 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do quadrado e as sequências numéricas que surgem a partir de sua forma.

Desenhando-se vários quadrados equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do quadrado central, obtêm-se 4 sequências numéricas apresentadas a seguir.

Sequências numéricas no quadrado

Números primos e figuras geométricas - o quadrado

As sequências numéricas em cada vértice do quadrado são formadas exclusivamente por números pares e por números ímpares.

Os números quadrados perfeitos encontram-se na parte superior do quadrado: nos vértices A e D.

Os lados de um polígono determina o vértice, ou os vértices em que a sequência numérica são os seus múltiplos, como o quadrado têm 4 vértices, no vértice D ocorre a sequência dos seu múltiplos, neste caso os múltiplos de 4.

O interessante a ser observado nestas sequências obtidas através dos vértices do quadrado é que o vértice D, vai se concentrando os múltiplos de 4 e os vértice A e C, os números primos a medida que vai se inserindo novos quadrados.

Sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do quadrado central têm-se as quatro sequências numéricas.

1) Vértice A, tem-se a sequência de números ímpares: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 31, ... e entre eles, os números primos.

A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.

5 - 1=4

- 5 =4

2) Vértice B tem-se a sequência de números pares: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 32, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.

6 - 2 = 4

10 - 6 = 4

3) Vértice C tem-se a sequência de números ímpares: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, ... e entre eles, os números primos.

A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.

7 - 3 = 4

11 - 7 = 4

4) Vértice D tem-se a sequência de números pares: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.

7 - 3 = 4

11 - 7 = 4

Nesta sequência aparece os mútiplos de 4 (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...),

Sequências
Numéricas no quadrado
         
Ordem dos Vértice
A		 Vértice
B		 Vértice
C		 Vértice
D
dos quadrados
         
1 1 2 3 4
2 5 6 7 8
3 9 10 11 12
4 13 14 15 16
5 17 18 19 20
6 21 22 23 24
7 25 26 27 28
8 29 30 31 32
9 33 34 35 36
10 37 38 39 40
11 41 42 43 44
12 45 46 47 48
13 49 50 51 52
14 53 54 55 56
15 57 58 59 60
16 61 62 63 64
17 65 66 67 68
18 69 70 71 72
19 73 74 75 76
20 77 78 79 80
21 81 82 83 84
22 85 86 87 88
23 89 90 91 92
24 93 94 95 96
25 97 98 99 100
26 101 102 103 104
27 105 106 107 108
28 109 110 111 112
29 113 114 115 116
30 117 118 119 120
31 121 122 123 124
32 125 126 127 128
33 129 130 131 132
34 133 134 135 136
35 137 138 139 140
36 141 142 143 144
37 145 146 147 148
38 149 150 151 152
39 153 154 155 156
40 157 158 159 160
41 161 162 163 164
42 165 166 167 168
43 169 170 171 172
44 173 174 175 176
45 177 178 179 180
46 181 182 183 184
47 185 186 187 188
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

A soma dos números dos vértices opostos A e C

A soma dos números dos vértices opostos A e C de cada quadrado, cuja diagonal aparece números ímpares tem como resultado um múltiplo de 4.

1) A soma dos números dos vértices A e C do primeiro quadrado.

1 + 3 = 4

2) A soma dos números dos vértices A e C do segundo quadrado.

5 + 7 = 12

3) A soma dos números dos vértices A e C do terceiro quadrado.

9 + 11 = 20

A sequência começa pelo número 4 e somando-se 8 unidades seguidamente, obteremos a seguinte sequência dos múltiplos de 4: (4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68...).

Observação: Esses múltiplos divididos por 4 tem como quocientes números impares.

Sequências
Numéricas no quadrado
 
Soma dos
vértices A e C
   
Ordem dos Soma
Quadrados Vértice
A		 Vértice
C		 (múltiplo de 4)
       
1 1 3 4
2 5 7 12
3 9 11 20
4 13 15 28
5 17 19 36
6 21 23 44
7 25 27 52
8 29 31 60
9 33 35 68
10 37 39 76
11 41 43 84
12 45 47 92
13 49 51 100
14 53 55 108
15 57 59 116
16 61 63 124
17 65 67 132
18 69 71 140
19 73 75 148
20 77 79 156
21 81 83 164
22 85 87 172
23 89 91 180
24 93 95 188
25 97 99 196
26 101 103 204
27 105 107 212
28 109 111 220
29 113 115 228
30 117 119 236
31 121 123 244
32 125 127 252
33 129 131 260
34 133 135 268
35 137 139 276
36 141 143 284
37 145 147 292
38 149 151 300
39 153 155 308
40 157 159 316
41 161 163 324
42 165 167 332
43 169 171 340
44 173 175 348
45 177 179 356
46 181 183 364
47 185 187 372
48 189 191 380
49 193 195 388
50 197 199 396

A soma dos números dos vértices opostos B e D

A soma dos números dos vértices opostos B e D de cada quadrado, cuja diagonal aparece números pares tem como resultado um múltiplo de 2.  

1) A soma dos números dos vértices B e D do primeiro quadrado.  

2 + 4 = 6

2) A soma dos números dos vértices B e D do segundo quadrado.  

6 + 8 = 14

3) A soma dos números dos vértices B e D do terceiro quadrado.

10 + 12 = 22

A sequência começa pelo número 6 e somando-se 8 unidades seguidamente, obteremos a seguinte sequência dos múltiplos de 2: (6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, ...).

Observação: Esses múltiplos divididos por 2 tem como quocientes números impares.

Sequências Numéricas no quadrado
 
Soma dos vértices B e D
   
Ordem dos Soma
Quadrados Vértice B Vértice D (múltiplos de 2)
       
1 2 4 6
2 6 8 14
3 10 12 22
4 14 16 30
5 18 20 38
6 22 24 46
7 26 28 54
8 30 32 62
9 34 36 70
10 38 40 78
11 42 44 86
12 46 48 94
13 50 52 102
14 54 56 110
15 58 60 118
16 62 64 126
17 66 68 134
18 70 72 142
19 74 76 150
20 78 80 158
21 82 84 166
22 86 88 174
23 90 92 182
24 94 96 190
25 98 100 198
26 102 104 206
27 106 108 214
28 110 112 222
29 114 116 230
30 118 120 238
31 122 124 246
32 126 128 254
33 130 132 262
34 134 136 270
35 138 140 278
36 142 144 286
37 146 148 294
38 150 152 302
39 154 156 310
40 158 160 318
41 162 164 326
42 166 168 334
43 170 172 342
44 174 176 350
45 178 180 358
46 182 184 366
47 186 188 374
48 190 192 382
49 194 196 390
50 198 200 398

O vértice B é a média aritmética dos vértices opostos A e C

O número do vértice B é a média aritmética dos vértices opostos A e C de cada quadrado, cuja diagonal aparece números ímpares e tem como resultado um múltiplo de 4.

1) A média aritmética dos números dos vértices A e C do primeiro quadrado.

1 + 3 = 4

4 : 2 = 2 (média artimética)

2) A média aritmética dos números dos vértices A e C do segundo quadrado.

5 + 7 = 12

12 : 2 = 6 (média artimética)

3) A média aritmética dos números dos vértices A e C do terceiro quadrado.

9 + 11 =20

20 : 2 = 10 (média artimética)

Sequências Numéricas no quadrado
 
Soma dos vértices A e C
   
Ordem dos média aritmética
Quadrados Vértice A Vértice C Soma Vértice B
         
1 1 3 4 2
2 5 7 12 6
3 9 11 20 10
4 13 15 28 14
5 17 19 36 18
6 21 23 44 22
7 25 27 52 26
8 29 31 60 30
9 33 35 68 34
10 37 39 76 38
11 41 43 84 42
12 45 47 92 46
13 49 51 100 50
14 53 55 108 54
15 57 59 116 58
16 61 63 124 62
17 65 67 132 66
18 69 71 140 70
19 73 75 148 74
20 77 79 156 78
21 81 83 164 82
22 85 87 172 86
23 89 91 180 90
24 93 95 188 94
25 97 99 196 98
26 101 103 204 102
27 105 107 212 106
28 109 111 220 110
29 113 115 228 114
30 117 119 236 118
31 121 123 244 122
32 125 127 252 126
33 129 131 260 130
34 133 135 268 134
35 137 139 276 138
36 141 143 284 142
37 145 147 292 146
38 149 151 300 150
39 153 155 308 154
40 157 159 316 158
41 161 163 324 162
42 165 167 332 166
43 169 171 340 170
44 173 175 348 174
45 177 179 356 178
46 181 183 364 182
47 185 187 372 186
48 189 191 380 190
49 193 195 388 194
50 197 199 396 198

O vértice C é a média aritmética dos vértices opostos B e D

O número do vértice C é a média aritmética dos vértices opostos B e D de cada quadrado, cuja diagonal aparece números pares e tem como resultado um múltiplo de 2.

1) A média aritmética dos números dos vértices B e D do primeiro quadrado.

2 + 4 = 6

6 : 3 = 3 (média aritmética)

2) A média aritmética dos números dos vértices B e D do segundo quadrado.

6 + 8 = 14

14 : 2 = 7 (média aritmética)

3) A média aritmética dos números dos vértices B e D do terceiro quadrado.

10 + 12 = 22

22 : 2 = 11 (média aritmética)

Sequências Numéricas no quadrado
 
Soma dos vértices B e D
     
Ordem dos Soma média aritmética
Quadrados Vértice B Vértice D (múltiplos de 2) Vértice C
         
1 2 4 6 3
2 6 8 14 7
3 10 12 22 11
4 14 16 30 15
5 18 20 38 19
6 22 24 46 23
7 26 28 54 27
8 30 32 62 31
9 34 36 70 35
10 38 40 78 39
11 42 44 86 43
12 46 48 94 47
13 50 52 102 51
14 54 56 110 55
15 58 60 118 59
16 62 64 126 63
17 66 68 134 67
18 70 72 142 71
19 74 76 150 75
20 78 80 158 79
21 82 84 166 83
22 86 88 174 87
23 90 92 182 91
24 94 96 190 95
25 98 100 198 99
26 102 104 206 103
27 106 108 214 107
28 110 112 222 111
29 114 116 230 115
30 118 120 238 119
31 122 124 246 123
32 126 128 254 127
33 130 132 262 131
34 134 136 270 135
35 138 140 278 139
36 142 144 286 143
37 146 148 294 147
38 150 152 302 151
39 154 156 310 155
40 158 160 318 159
41 162 164 326 163
42 166 168 334 167
43 170 172 342 171
44 174 176 350 175
45 178 180 358 179
46 182 184 366 183
47 186 188 374 187
48 190 192 382 191
49 194 196 390 195
50 198 200 398 199

A soma dos vértices D e A é igual soma dos vértices C e B

A soma dos vértices D e A tem resultado igual a soma dos vértices C e D.

1) A soma dos vértices do primeiro quadrado.

D e A

4 + 1 = 5

C e B

3 + 2 = 5

2) A soma dos vértices do segundo quadrado.

D e A

8 + 5 = 13

C e B

7 + 6 = 13

3) A soma dos vértices do terceiro quadrado.

D e A

12 + 9 = 21

C e B

11 + 10 = 21

Sequências Numéricas no quadrado
           
Vértice D Vértice A Soma (D+A) Vértice C Vértice B Soma (C+B)
           
4 1 5 3 2 5
8 5 13 7 6 13
12 9 21 11 10 21
16 13 29 15 14 29
20 17 37 19 18 37
24 21 45 23 22 45
28 25 53 27 26 53
32 29 61 31 30 61
36 33 69 35 34 69
40 37 77 39 38 77
44 41 85 43 42 85
48 45 93 47 46 93
52 49 101 51 50 101
56 53 109 55 54 109
60 57 117 59 58 117
64 61 125 63 62 125
68 65 133 67 66 133
72 69 141 71 70 141
76 73 149 75 74 149
80 77 157 79 78 157
84 81 165 83 82 165
88 85 173 87 86 173
92 89 181 91 90 181
96 93 189 95 94 189
100 97 197 99 98 197
104 101 205 103 102 205
108 105 213 107 106 213
112 109 221 111 110 221
116 113 229 115 114 229
120 117 237 119 118 237
124 121 245 123 122 245
128 125 253 127 126 253
132 129 261 131 130 261
136 133 269 135 134 269
140 137 277 139 138 277
144 141 285 143 142 285
148 145 293 147 146 293
152 149 301 151 150 301
156 153 309 155 154 309
160 157 317 159 158 317
164 161 325 163 162 325
168 165 333 167 166 333
172 169 341 171 170 341
176 173 349 175 174 349
180 177 357 179 178 357
184 181 365 183 182 365
188 185 373 187 186 373

Números figurados quadrados centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números quadrados centrados intercalados entre seus termos:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181...(células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 5, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 5 e 13 - 1 intervalo

entre 13 e 25 - 2 intervalos

entre 25 e 41 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados quadrados centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados hexagonais.

numeros quadrados centrados

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

DOWNLOAD

Aritmética do Relógio / Aritmética Modular no Quadrado

Outra propriedade que podemos extrair do diagrama de quadrados equistantes com vértices numerados é a Aritmética do Relógio, também denominada de Aritmética Modular, Aritmética Módulo M, conceitos estes desenvolvidos pelos matemáticos Leonhard Euler e Carl Friedrich Gauss.

Aritmética do Relógio / Arimética Modular no Quadrado

No vértice D, como se observa, tende a se concentrar a sequência de múltiplos de 4, isto é, números que quando divididos por 4, deixam resto 0 (zero).

Nos vértices A, B e C, podemos dizer que tem algo de "especial", são números que quando divididos por 4 deixam restos 1, 2 e 3 respectivamente.

Este fato de sobrar restos em divisões entre números inteiros fez surgir o conceito de congruência / equivalência entre números.

Partindo-se do "marcador 0" e girando em sentido horário tantos vértices que se queira, ao pararmos em determinado número e dividirmos esse número por 4, os possíveis restos podem ser: 0, 1, 2 ou 3.

Dái podemos dizer:

1) um número é congruente / equivalente a outro número, no nosso exemplo (módulo 4), porque quando dividido por 4 podem deixar os seguintes restos: 0, 1, 2 ou 3;

a ≡ b (módulo m)

a e b ao serem divididos por m deixam restos iguais.

o sinal (≡), com 3 traços simboliza congruência.

Exemplo:

5 ≡ 9 (módulo 4)

5 e 9 deixam resto 1 quando divididos por 4,

pois:

5 : 4 = 1 e resto 1

9 : 4 = 2 e resto 1

2) ou também a e b serão congruentes módulo m quando b-a for divisível por m;

Exemplo:

5 ≡ 9 (módulo 4)

porque:

9 - 5 = 4

4 é divisível por 4

A Aritmética Modular / Aritmética Módulo M / Aritmética do Relógio é um ramo da Teoria dos Números e têm diversas aplicações, entre elas, a Criptografia.

Análise da congruência 6 ≡ 30 (módulo 4)

6 ≡ 30 (módulo 4)

porque:

6 e 30 deixam resto 2 quando divididos por 4.

6 : 4 = 1 e resto 2

30 : 4 = 7 e resto 2

e também porque, a diferença entre os termos é múltiplo de 4.

30 - 6 = 24

24 é múltiplo de 4.

Interessante observar que:

a) na P.A. de razão 4: ( 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,... ) em que há múltiplos de 4, a soma de quaisquer dois termos, sejam eles equidistantes ou não, é um múltiplo de 4;

b) na P.A de razão 4: ( 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30,... ) em que não há múltiplos de 4, a soma de quaisquer dois termos, sejam eles equidistantes ou não, é um múltiplo de 4, é o caso da congruência: 6 ≡ 30 (módulo 4);

O que se constata é que números pares que não são múltiplos de 4 ao serem somados em grupos de termos em quantidade pares ou equidistantes ou não, geram múltiplos de 4.

c) na P.A. de razão 4: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...) em que os termos são ímpares, a soma de quaisquer dois termos, sejam eles equidistantes ou não, não é um múltiplo de 4;

c) na P.A. de razão 4: ( 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, ...) em que os termos são ímpares, a soma de quaisquer dois termos, sejam eles equidistantes ou não, não é um múltiplo de 4;

Autor: Ricardo Silva

atualizado em maio/2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

Matérias relacionadas:

011-estudos-047-numeros-primos-figura-geometricas-o-pentagono
011-estudos-048-numeros-primos-figura-geometricas-o-hexagono
LIVRO DIGITAL (E-book) Números Triangulares e Sequências Numéricas
livro triangulares e sequências numéricas mágicas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Senhores Professores de Matemática,

Profissionais de Exatas e

Entusiastas Matemáticos

RECEBAM GRATUITAMENTE
O E-BOOK
TRIÂNGULO RETÂNGULO:

 

livro Triângulo Retângulo

FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO

AGORA MESMO ATRAVÉS

DO E-MAIL:

contato@osfantasticos numerosprimos.com.br

Prezado visitante, o conteúdo do

WebSite Os Fantásticos Números Primos

está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado,

desde que informando ao autor o local e

o meio em que será utilizado e divulgado,

através do e-mail:

contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br

O uso comercial é proibido.

curta fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
logotipo Ric Desing

Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.

Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).

Desenvolvimento de WebSite.

Contato

ric@osfantasticosnumerosprimos.com.br

fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos