Quadrado é um polígono regular formado por 4 lados com a mesma medida e também por 4 ângulos internos com a mesma medida.
Este estudo tem como base a figura geométrica do quadrado e as sequências numéricas que surgem a partir de sua forma.
Desenhando-se vários quadrados equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do quadrado central, obtêm-se várias sequências numéricas apresentadas a seguir.
Cada vértice do quadrado há uma só concentração de números pares e outra só de números ímpares.
Os números quadrados perfeitos encontram-se na parte superior do quadrado: nos vértices A e D.
Os lados de um polígono determina o vértice, ou os vértices em que a sequência numérica são os seus múltiplos, como o quadrado têm 4 vértices, no vértice D ocorre a sequência dos seu múltiplos, neste caso os múltiplos de 4.
O interessante a ser observado nestas sequências obtidas através dos vértices do quadrado é que o vértice D, vai se concentrando os múltiplos de 4 e os vértice A e C, os números primos a medida que vai se inserindo novos quadrados.
Partindo-se de cada vértice do quadrado central têm-se as quatro principais sequências numéricas.
1) Vértice A, tem-se a sequência de números ímpares: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 31, ... e entre eles, os números primos.
A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.
5 - 1=4
- 5 =4
2) Vértice B tem-se a sequência de números pares: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 32, ...
A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.
6 - 2 = 4
10 - 6 = 4
3) Vértice C tem-se a sequência de números ímpares: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, ... e entre eles, os números primos.
A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.
7 - 3 = 4
11 - 7 = 4
4) Vértice D tem-se a sequência de números pares: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.
7 - 3 = 4
11 - 7 = 4
Nesta sequência aparece os mútiplos de 4 (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...),
Sequências Numéricas no quadrado |
||||
---|---|---|---|---|
Ordem dos | Vértice A |
Vértice B |
Vértice C |
Vértice D |
dos quadrados | ||||
1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2 | 5 | 6 | 7 | 8 |
3 | 9 | 10 | 11 | 12 |
4 | 13 | 14 | 15 | 16 |
5 | 17 | 18 | 19 | 20 |
6 | 21 | 22 | 23 | 24 |
7 | 25 | 26 | 27 | 28 |
8 | 29 | 30 | 31 | 32 |
9 | 33 | 34 | 35 | 36 |
10 | 37 | 38 | 39 | 40 |
11 | 41 | 42 | 43 | 44 |
12 | 45 | 46 | 47 | 48 |
13 | 49 | 50 | 51 | 52 |
14 | 53 | 54 | 55 | 56 |
15 | 57 | 58 | 59 | 60 |
16 | 61 | 62 | 63 | 64 |
17 | 65 | 66 | 67 | 68 |
18 | 69 | 70 | 71 | 72 |
19 | 73 | 74 | 75 | 76 |
20 | 77 | 78 | 79 | 80 |
21 | 81 | 82 | 83 | 84 |
22 | 85 | 86 | 87 | 88 |
23 | 89 | 90 | 91 | 92 |
24 | 93 | 94 | 95 | 96 |
25 | 97 | 98 | 99 | 100 |
26 | 101 | 102 | 103 | 104 |
27 | 105 | 106 | 107 | 108 |
28 | 109 | 110 | 111 | 112 |
29 | 113 | 114 | 115 | 116 |
30 | 117 | 118 | 119 | 120 |
31 | 121 | 122 | 123 | 124 |
32 | 125 | 126 | 127 | 128 |
33 | 129 | 130 | 131 | 132 |
34 | 133 | 134 | 135 | 136 |
35 | 137 | 138 | 139 | 140 |
36 | 141 | 142 | 143 | 144 |
37 | 145 | 146 | 147 | 148 |
38 | 149 | 150 | 151 | 152 |
39 | 153 | 154 | 155 | 156 |
40 | 157 | 158 | 159 | 160 |
41 | 161 | 162 | 163 | 164 |
42 | 165 | 166 | 167 | 168 |
43 | 169 | 170 | 171 | 172 |
44 | 173 | 174 | 175 | 176 |
45 | 177 | 178 | 179 | 180 |
46 | 181 | 182 | 183 | 184 |
47 | 185 | 186 | 187 | 188 |
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A soma dos números dos vértices opostos A e C de cada quadrado, cuja diagonal aparece números ímpares tem como resultado um múltiplo de 4.
1) A soma dos números dos vértices A e C do primeiro quadrado.
1 + 3 = 4
2) A soma dos números dos vértices A e C do segundo quadrado.
5 + 7 = 12
3) A soma dos números dos vértices A e C do terceiro quadrado.
9 + 11 = 20
A sequência começa pelo número 4 e somando-se 8 unidades seguidamente, obteremos a seguinte sequência dos múltiplos de 4: (4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68...).
Observação: Esses múltiplos divididos por 4 tem como quocientes números impares.
Sequências Numéricas no quadrado |
|||
---|---|---|---|
Soma dos vértices A e C |
|||
Ordem dos | Soma | ||
Quadrados | Vértice A |
Vértice C |
(múltiplo de 4) |
1 | 1 | 3 | 4 |
2 | 5 | 7 | 12 |
3 | 9 | 11 | 20 |
4 | 13 | 15 | 28 |
5 | 17 | 19 | 36 |
6 | 21 | 23 | 44 |
7 | 25 | 27 | 52 |
8 | 29 | 31 | 60 |
9 | 33 | 35 | 68 |
10 | 37 | 39 | 76 |
11 | 41 | 43 | 84 |
12 | 45 | 47 | 92 |
13 | 49 | 51 | 100 |
14 | 53 | 55 | 108 |
15 | 57 | 59 | 116 |
16 | 61 | 63 | 124 |
17 | 65 | 67 | 132 |
18 | 69 | 71 | 140 |
19 | 73 | 75 | 148 |
20 | 77 | 79 | 156 |
21 | 81 | 83 | 164 |
22 | 85 | 87 | 172 |
23 | 89 | 91 | 180 |
24 | 93 | 95 | 188 |
25 | 97 | 99 | 196 |
26 | 101 | 103 | 204 |
27 | 105 | 107 | 212 |
28 | 109 | 111 | 220 |
29 | 113 | 115 | 228 |
30 | 117 | 119 | 236 |
31 | 121 | 123 | 244 |
32 | 125 | 127 | 252 |
33 | 129 | 131 | 260 |
34 | 133 | 135 | 268 |
35 | 137 | 139 | 276 |
36 | 141 | 143 | 284 |
37 | 145 | 147 | 292 |
38 | 149 | 151 | 300 |
39 | 153 | 155 | 308 |
40 | 157 | 159 | 316 |
41 | 161 | 163 | 324 |
42 | 165 | 167 | 332 |
43 | 169 | 171 | 340 |
44 | 173 | 175 | 348 |
45 | 177 | 179 | 356 |
46 | 181 | 183 | 364 |
47 | 185 | 187 | 372 |
48 | 189 | 191 | 380 |
49 | 193 | 195 | 388 |
50 | 197 | 199 | 396 |
A soma dos números dos vértices opostos B e D de cada quadrado, cuja diagonal aparece números pares tem como resultado um múltiplo de 2.
1) A soma dos números dos vértices B e D do primeiro quadrado.
2 + 4 = 6
2) A soma dos números dos vértices B e D do segundo quadrado.
6 + 8 = 14
3) A soma dos números dos vértices B e D do terceiro quadrado.
10 + 12 = 22
A sequência começa pelo número 6 e somando-se 8 unidades seguidamente, obteremos a seguinte sequência dos múltiplos de 2: (6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, ...).
Observação: Esses múltiplos divididos por 2 tem como quocientes números impares.
Sequências Numéricas no quadrado | |||
---|---|---|---|
Soma dos vértices B e D | |||
Ordem dos | Soma | ||
Quadrados | Vértice B | Vértice D | (múltiplos de 2) |
1 | 2 | 4 | 6 |
2 | 6 | 8 | 14 |
3 | 10 | 12 | 22 |
4 | 14 | 16 | 30 |
5 | 18 | 20 | 38 |
6 | 22 | 24 | 46 |
7 | 26 | 28 | 54 |
8 | 30 | 32 | 62 |
9 | 34 | 36 | 70 |
10 | 38 | 40 | 78 |
11 | 42 | 44 | 86 |
12 | 46 | 48 | 94 |
13 | 50 | 52 | 102 |
14 | 54 | 56 | 110 |
15 | 58 | 60 | 118 |
16 | 62 | 64 | 126 |
17 | 66 | 68 | 134 |
18 | 70 | 72 | 142 |
19 | 74 | 76 | 150 |
20 | 78 | 80 | 158 |
21 | 82 | 84 | 166 |
22 | 86 | 88 | 174 |
23 | 90 | 92 | 182 |
24 | 94 | 96 | 190 |
25 | 98 | 100 | 198 |
26 | 102 | 104 | 206 |
27 | 106 | 108 | 214 |
28 | 110 | 112 | 222 |
29 | 114 | 116 | 230 |
30 | 118 | 120 | 238 |
31 | 122 | 124 | 246 |
32 | 126 | 128 | 254 |
33 | 130 | 132 | 262 |
34 | 134 | 136 | 270 |
35 | 138 | 140 | 278 |
36 | 142 | 144 | 286 |
37 | 146 | 148 | 294 |
38 | 150 | 152 | 302 |
39 | 154 | 156 | 310 |
40 | 158 | 160 | 318 |
41 | 162 | 164 | 326 |
42 | 166 | 168 | 334 |
43 | 170 | 172 | 342 |
44 | 174 | 176 | 350 |
45 | 178 | 180 | 358 |
46 | 182 | 184 | 366 |
47 | 186 | 188 | 374 |
48 | 190 | 192 | 382 |
49 | 194 | 196 | 390 |
50 | 198 | 200 | 398 |
O número do vértice B é a média aritmética dos vértices opostos A e C de cada quadrado, cuja diagonal aparece números ímpares e tem como resultado um múltiplo de 4.
1) A média aritmética dos números dos vértices A e C do primeiro quadrado.
1 + 3 = 4
4 : 2 = 2 (média artimética)
2) A média aritmética dos números dos vértices A e C do segundo quadrado.
5 + 7 = 12
12 : 2 = 6 (média artimética)
3) A média aritmética dos números dos vértices A e C do terceiro quadrado.
9 + 11 =20
20 : 2 = 10 (média artimética)
Sequências Numéricas no quadrado | ||||
---|---|---|---|---|
Soma dos vértices A e C | ||||
Ordem dos | média aritmética | |||
Quadrados | Vértice A | Vértice C | Soma | Vértice B |
1 | 1 | 3 | 4 | 2 |
2 | 5 | 7 | 12 | 6 |
3 | 9 | 11 | 20 | 10 |
4 | 13 | 15 | 28 | 14 |
5 | 17 | 19 | 36 | 18 |
6 | 21 | 23 | 44 | 22 |
7 | 25 | 27 | 52 | 26 |
8 | 29 | 31 | 60 | 30 |
9 | 33 | 35 | 68 | 34 |
10 | 37 | 39 | 76 | 38 |
11 | 41 | 43 | 84 | 42 |
12 | 45 | 47 | 92 | 46 |
13 | 49 | 51 | 100 | 50 |
14 | 53 | 55 | 108 | 54 |
15 | 57 | 59 | 116 | 58 |
16 | 61 | 63 | 124 | 62 |
17 | 65 | 67 | 132 | 66 |
18 | 69 | 71 | 140 | 70 |
19 | 73 | 75 | 148 | 74 |
20 | 77 | 79 | 156 | 78 |
21 | 81 | 83 | 164 | 82 |
22 | 85 | 87 | 172 | 86 |
23 | 89 | 91 | 180 | 90 |
24 | 93 | 95 | 188 | 94 |
25 | 97 | 99 | 196 | 98 |
26 | 101 | 103 | 204 | 102 |
27 | 105 | 107 | 212 | 106 |
28 | 109 | 111 | 220 | 110 |
29 | 113 | 115 | 228 | 114 |
30 | 117 | 119 | 236 | 118 |
31 | 121 | 123 | 244 | 122 |
32 | 125 | 127 | 252 | 126 |
33 | 129 | 131 | 260 | 130 |
34 | 133 | 135 | 268 | 134 |
35 | 137 | 139 | 276 | 138 |
36 | 141 | 143 | 284 | 142 |
37 | 145 | 147 | 292 | 146 |
38 | 149 | 151 | 300 | 150 |
39 | 153 | 155 | 308 | 154 |
40 | 157 | 159 | 316 | 158 |
41 | 161 | 163 | 324 | 162 |
42 | 165 | 167 | 332 | 166 |
43 | 169 | 171 | 340 | 170 |
44 | 173 | 175 | 348 | 174 |
45 | 177 | 179 | 356 | 178 |
46 | 181 | 183 | 364 | 182 |
47 | 185 | 187 | 372 | 186 |
48 | 189 | 191 | 380 | 190 |
49 | 193 | 195 | 388 | 194 |
50 | 197 | 199 | 396 | 198 |
O número do vértice C é a média aritmética dos vértices opostos B e D de cada quadrado, cuja diagonal aparece números pares e tem como resultado um múltiplo de 2.
1) A média aritmética dos números dos vértices B e D do primeiro quadrado.
2 + 4 = 6
6 : 3 = 3 (média aritmética)
2) A média aritmética dos números dos vértices B e D do segundo quadrado.
6 + 8 = 14
14 : 2 = 7 (média aritmética)
3) A média aritmética dos números dos vértices B e D do terceiro quadrado.
10 + 12 = 22
22 : 2 = 11 (média aritmética)
Sequências Numéricas no quadrado | ||||
---|---|---|---|---|
Soma dos vértices B e D | ||||
Ordem dos | Soma | média aritmética | ||
Quadrados | Vértice B | Vértice D | (múltiplos de 2) | Vértice C |
1 | 2 | 4 | 6 | 3 |
2 | 6 | 8 | 14 | 7 |
3 | 10 | 12 | 22 | 11 |
4 | 14 | 16 | 30 | 15 |
5 | 18 | 20 | 38 | 19 |
6 | 22 | 24 | 46 | 23 |
7 | 26 | 28 | 54 | 27 |
8 | 30 | 32 | 62 | 31 |
9 | 34 | 36 | 70 | 35 |
10 | 38 | 40 | 78 | 39 |
11 | 42 | 44 | 86 | 43 |
12 | 46 | 48 | 94 | 47 |
13 | 50 | 52 | 102 | 51 |
14 | 54 | 56 | 110 | 55 |
15 | 58 | 60 | 118 | 59 |
16 | 62 | 64 | 126 | 63 |
17 | 66 | 68 | 134 | 67 |
18 | 70 | 72 | 142 | 71 |
19 | 74 | 76 | 150 | 75 |
20 | 78 | 80 | 158 | 79 |
21 | 82 | 84 | 166 | 83 |
22 | 86 | 88 | 174 | 87 |
23 | 90 | 92 | 182 | 91 |
24 | 94 | 96 | 190 | 95 |
25 | 98 | 100 | 198 | 99 |
26 | 102 | 104 | 206 | 103 |
27 | 106 | 108 | 214 | 107 |
28 | 110 | 112 | 222 | 111 |
29 | 114 | 116 | 230 | 115 |
30 | 118 | 120 | 238 | 119 |
31 | 122 | 124 | 246 | 123 |
32 | 126 | 128 | 254 | 127 |
33 | 130 | 132 | 262 | 131 |
34 | 134 | 136 | 270 | 135 |
35 | 138 | 140 | 278 | 139 |
36 | 142 | 144 | 286 | 143 |
37 | 146 | 148 | 294 | 147 |
38 | 150 | 152 | 302 | 151 |
39 | 154 | 156 | 310 | 155 |
40 | 158 | 160 | 318 | 159 |
41 | 162 | 164 | 326 | 163 |
42 | 166 | 168 | 334 | 167 |
43 | 170 | 172 | 342 | 171 |
44 | 174 | 176 | 350 | 175 |
45 | 178 | 180 | 358 | 179 |
46 | 182 | 184 | 366 | 183 |
47 | 186 | 188 | 374 | 187 |
48 | 190 | 192 | 382 | 191 |
49 | 194 | 196 | 390 | 195 |
50 | 198 | 200 | 398 | 199 |
A soma dos vértices D e A tem resultado igual a soma dos vértices C e D.
1) A soma dos vértices do primeiro quadrado.
D e A
4 + 1 = 5
C e B
3 + 2 = 5
2) A soma dos vértices do segundo quadrado.
D e A
8 + 5 = 13
C e B
7 + 6 = 13
3) A soma dos vértices do terceiro quadrado.
D e A
12 + 9 = 21
C e B
11 + 10 = 21
Sequências Numéricas no quadrado | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Vértice D | Vértice A | Soma (D+A) | Vértice C | Vértice B | Soma (C+B) | |
4 | 1 | 5 | 3 | 2 | 5 | |
8 | 5 | 13 | 7 | 6 | 13 | |
12 | 9 | 21 | 11 | 10 | 21 | |
16 | 13 | 29 | 15 | 14 | 29 | |
20 | 17 | 37 | 19 | 18 | 37 | |
24 | 21 | 45 | 23 | 22 | 45 | |
28 | 25 | 53 | 27 | 26 | 53 | |
32 | 29 | 61 | 31 | 30 | 61 | |
36 | 33 | 69 | 35 | 34 | 69 | |
40 | 37 | 77 | 39 | 38 | 77 | |
44 | 41 | 85 | 43 | 42 | 85 | |
48 | 45 | 93 | 47 | 46 | 93 | |
52 | 49 | 101 | 51 | 50 | 101 | |
56 | 53 | 109 | 55 | 54 | 109 | |
60 | 57 | 117 | 59 | 58 | 117 | |
64 | 61 | 125 | 63 | 62 | 125 | |
68 | 65 | 133 | 67 | 66 | 133 | |
72 | 69 | 141 | 71 | 70 | 141 | |
76 | 73 | 149 | 75 | 74 | 149 | |
80 | 77 | 157 | 79 | 78 | 157 | |
84 | 81 | 165 | 83 | 82 | 165 | |
88 | 85 | 173 | 87 | 86 | 173 | |
92 | 89 | 181 | 91 | 90 | 181 | |
96 | 93 | 189 | 95 | 94 | 189 | |
100 | 97 | 197 | 99 | 98 | 197 | |
104 | 101 | 205 | 103 | 102 | 205 | |
108 | 105 | 213 | 107 | 106 | 213 | |
112 | 109 | 221 | 111 | 110 | 221 | |
116 | 113 | 229 | 115 | 114 | 229 | |
120 | 117 | 237 | 119 | 118 | 237 | |
124 | 121 | 245 | 123 | 122 | 245 | |
128 | 125 | 253 | 127 | 126 | 253 | |
132 | 129 | 261 | 131 | 130 | 261 | |
136 | 133 | 269 | 135 | 134 | 269 | |
140 | 137 | 277 | 139 | 138 | 277 | |
144 | 141 | 285 | 143 | 142 | 285 | |
148 | 145 | 293 | 147 | 146 | 293 | |
152 | 149 | 301 | 151 | 150 | 301 | |
156 | 153 | 309 | 155 | 154 | 309 | |
160 | 157 | 317 | 159 | 158 | 317 | |
164 | 161 | 325 | 163 | 162 | 325 | |
168 | 165 | 333 | 167 | 166 | 333 | |
172 | 169 | 341 | 171 | 170 | 341 | |
176 | 173 | 349 | 175 | 174 | 349 | |
180 | 177 | 357 | 179 | 178 | 357 | |
184 | 181 | 365 | 183 | 182 | 365 | |
188 | 185 | 373 | 187 | 186 | 373 |
No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números quadrados centrados intercalados entre seus termos:
1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181...(células amarela na tabela acima).
O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 5, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.
entre 5 e 13 - 1 intervalo
entre 13 e 25 - 2 intervalos
entre 25 e 41 - 3 intervalos
e assim sucessivamente...
Os números figurados quadrados centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados hexagonais.
Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).
Autor: Ricardo Silva
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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