Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números quadrados - a soma do primeiro intervalo de múltiplos ímpares - 034

O estudo apresenta regularidades numéricas na soma dos números dos intervalos de números múltiplos ímpares.

Dispondo sequências de números naturais ímpares, marcando múltiplos de um mesmo número ímpar e posteriormente somando os números dos intervalos, os resultados apresentam números quadrados perfeitos e múltiplos pares desse número ímpar.

A soma dos números do primeiro intervalo de um número múltiplo ímpar tem como resultado a sequência dos números quadrados perfeitos a partir de 1:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 3

O primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 3 é um número quadrado perfeito.

O número 1 é um número quadrado e está no primeiro intervalo.

A soma dos números entre os intervalos dos múltiplos ÍMPARES de 3 são múltiplos de 3.

Exemplos:

5 + 7 = 12

(12 : 3 = 4)

11 + 13 = 24

(24 : 3 = 8)

17 + 19 = 36

(36 : 3 = 12)

Regularidades entre intervalos de múltiplos de 3:

a) o quadrado 1 está em uma "casa", enquanto as parcelas que originam os múltiplos de 3, estão em duas "casas";

b) a raiz quadrada de 1 é 1;

c) 2 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 3 (múltiplos pares);

d) Somando-se 12 unidades a partir do primeiro múltiplo de 3 originado entre os intervalos, o número 12, obtêm-se os demais múltiplos: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 5

A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 5 é um número quadrado perfeito.

Interessante observar que a média aritmética de 1 e 3 é 2.

2 é a raiz quadrada de 4.

1 + 3 = 4

4 é um número quadrado perfeito.

A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 5 são múltiplos de 5.

Exemplos:

7 + 9 + 11 + 13 = 40

(40 : 5 = 8)

17 + 19 + 21 + 23 = 80

(80 : 5 = 16)

Regularidades entre intervalos de múltiplos de 5:

a) o quadrado 4 é obtido somando-se dois números ímpares consecutivos que estão em 2 "casas";

b) a raiz quadrada de 4 é 2;

c) as parcelas que originam os múltiplos de 5, estão em 4 "casas";

d) 4 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 5 (múltiplos pares).

e) Somando-se 40 unidades a partir do primeiro múltiplo de 5 originado entre os intervalos, o número 40, obtêm-se os demais múltiplos: 80, 120, 160, 60, 200, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 7

A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 7 é um número quadrado.

Interessante observar que a média aritmética de 1 e 5 é 3.

3 é a raiz quadrada de 9.

1 + 3 + 5 = 9

9 é um número quadrado perfeito.

A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 7 são múltiplos de 7.

Exemplos:

9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 84

(84 : 7 = 12)

23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 = 168

(168 : 7 = 24)

Regularidades entre intervalos de múltiplos de 7:

a) o quadrado 9 é obtido somando-se três números ímpares consecutivos que estão em 3 "casas";

b) a raiz quadrada de 9 é 3;

c) as parcelas que originam os múltiplos de 7, estão em 6 "casas";

d) 6 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 7 (múltiplos pares);

e) Somando-se 84 unidades a partir do primeiro múltiplo de 7 originado entre os intervalos, o número 84, obtêm-se os demais múltiplos: 168, 252, 336, 420, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 9

A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 9 é um número quadrado.

Interessante observar que a média aritmética de 1 e 7 é 4.

4 é a raiz quadrada de 16.

1 + 3 + 5 + 7 = 16

16 é um número quadrado perfeito.

A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 9 são múltiplos de 9.

Exemplos:

11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 144

(144 : 9 = 16)

29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 = 288

(288 : 9 = 32 )

Regularidades entre intervalos de múltiplos de 9:

a) o quadrado 16 é obtido somando-se quatro números ímpares consecutivos que estão em 4 "casas";

b) a raiz quadrada de de 16 é 4;

c) as parcelas que originam os múltiplos de 9, estão em 8 "casas";

d) 8 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 9 (múltiplos pares).

e) Somando-se 144 unidades a partir do primeiro múltiplo de 9 originado entre os intervalos, o número 144, obtêm-se os demais múltiplos: 288, 432, 576, 720, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 11

A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 11 é um número quadrado.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

25 é um número quadrado perfeito.

A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 11 são múltiplos de 11.

Exemplos:

13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 = 220

(220 : 11 = 20)

35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 = 440

(440 : 11 = 40)

Regularidades entre intervalos de múltiplos de 11:

a) o quadrado 25 é obtido somando-se cinco números ímpares consecutivos que estão em 5 "casas";

b) a raiz quadrada de 25 é 5;

c) as parcelas que originam os múltiplos de 11, estão em 10 "casas";

d) 10 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 11 (múltiplos pares);

e) Somando-se 220 unidades a partir do primeiro múltiplo de 11 originado entre os intervalos, o número 220, obtêm-se os demais múltiplos: 440, 660, 880, 1100, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 13

A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 13 é um número quadrado.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

36 é um número quadrado perfeito.

A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 13 são múltiplos de 13.

Exemplos:

15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 +...

...+ 29 + 31 + 33 + 35 + 37 = 312

(312 : 13 = 24)

41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 +...

...+ 55 + 57 + 59 + 61 + 63 = 624

(624 : 13 = 48)

Regularidades entre intervalos de múltiplos de 13:

a) o quadrado 36 é obtido somando-se seis números ímpares consecutivos que estão em 6 "casas";

b) a raiz quadrada de 36 é 6;

c) as parcelas que originam os múltiplos de 13, estão em 12 "casas";

d) 12 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 13 (múltiplos pares).

e) Somando-se 312 unidades a partir do primeiro múltiplo de 13 originado entre os intervalos, o número 312, obtêm-se os demais múltiplos: 624, 936, 1248, 1560, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 15

A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 15 é um número quadrado.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 - é um número quadrado.

A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 15 são múltiplos de 15.

Exemplos:

17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 +...

...+ 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 = 420

(420 : 15 = 28)

47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 +...

...+ 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 = 840

(840 : 15 = 56)

Regularidades entre intervalos de múltiplos de 15:

a) o quadrado 49 é obtido somando-se sete números ímpares consecutivos que estão em 7 "casas";

b) a raiz quadrada de 49 é 7;

c) as parcelas que originam os múltiplos de 15, estão em 14 "casas";

d) 14 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 15 (múltiplos pares).

e) Somando-se 420 unidades a partir do primeiro múltiplo de 15 originado entre os intervalos, o número 420, obtêm-se os demais múltiplos: 420, 840, 1260, 1680, etc.

Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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