Polígono é um contorno formado por segmentos de reta que não se cruzam e conforme os números de lados, os polígonos possuem nomes especiais, tais como:
triângulo - polígono de 3 lados;
quadrilátero - polígono de 4 lados;
pentágono - polígono de 5 lados, etc.
A diagonal de um polígono é o segmento de reta cujas extremidades tocam em dois vértices desse polígono.
O triângulo não possui diagonais e o pentágono é o único polígono cujas quantidades de diagonais é a mesma dos números de lados e de vértices.
Expressão que determina quantas diagonais partem de cada vértice de um polígono:
| ( n - 3 ) |
Expressão que determina o dobro do total de diagonais de um polígono:
| n x ( n - 3 ) |
Fórmula que determina o total de diagonais de um polígono:
| n x ( n - 3 ) | |
| d = | _______ |
| 2 |
A partir fórmula acima, podemos também calcular o número de lados de um polígono, quando conhecemos a quantidade de diagonais, vejamos:
Qual é o polígono que tem 5 diagonais?
i)
| n x ( n - 3 ) | |
| d = | _______ |
| 2 |
ii) substitu-se "d" por 5 que é a quantidade de diagonais;
| n x ( n - 3 ) | |
| 5 = | _______ |
| 2 |
iii)
| 2 x 5 = | n x ( n - 3 ) |
iv)
| 10 = | n x ( n - 3 ) |
v)
| n x ( n - 3 ) - 10 |
vi)
| n2 - 3n - 10 |
vii) iguala-se a 0 (zero) e formanos uma equação do segundo grau.
| n2 - 3n - 10 = 0 |
Lembre-se, há diversos outros métodos para se resolver equação do segundo grau, o diferencial da Fórmula de Bhaskara é que por meio do número Δ (Delta) podemos saber de antemão quantas raízes reais tem a equação.
| - b ± √b 2 - 4 . a .c | ||
| x | = | _____________ |
| 2.a |
| Δ = b2 - 4 . a . c |
| n2 - 3n - 10 = 0 |
coeficiente a: 1
coeficiente b: -3
coeficiente c: -10
Calculando o valor de Δ (Delta)
Δ = (-3)2 - 4 . 1 . (-10)
Δ = 9 + 40
Δ = 49
Δ (Delta) é maior que 0 (zero), portando há duas raízes reais e distintas.
i)
| - b ± √b 2 - 4 . a .c | ||
| x | = | _____________ |
| 2.a |
ii)
| - (-3) ± √49 | ||
| x | = | _____________ |
| 2.1 |
iii)
| 3 ± 7 | ||
| x | = | _____ |
| 2 |
iv)
| 3 + 7 | 10 | |||||
| x´ | = | ____ | = | __ | = | 5 |
| 2 | 2 |
v)
| 3 - 7 | - 4 | |||||
| x´´ | = | ____ | = | __ | = | -2 |
| 2 | 2 |
Escolhe-se a solução positiva 5.
Resposta: O polígono que possui 5 diagonais é o pentágono.
Partindo-se da equação do segundo grau completa an2 + 3n + c = 0 e permutando-se o termo independente "c" de -0 a -40 obtem-se interessantes padrões e regularidades matemáticas, vejamos:
a) alinhando-se o polígono com a ordem / posição referente com a quantidade de diagonais que ele possui, a ordem / posição é a mesma do termo independente "c" na equação (com sinal negativo);
b) as ordens / posições são os dobros das quantidades de diagonais dos polígonos, excetuando-se o triângulo;
c) sendo o termo "c" o dobro da quantidade de diagonais do polígono, o Δ (Delta) é um número quadrado perfeito ímpar e consequentemente a raiz quadrada, um número inteiro;
d) sendo o termo "c", um número que não corresponde ao dobro da quantidade de diagonais de um polígono, o Δ (Delta) tem como resultado um número irracional;
e) os intervalos entre Δ (Deltas) de raízes exatas apresentam quantidades ímpares de números irracionais;
f) entre o Δ (Delta) 9 e 25, o intervalo é 3 números, 3 é raiz quadrada de 9;
g) entre o Δ (Delta) 25 e 49, o intervalo é 5 números, 5 é raiz quadrada de 25;
i) os números quadrados perfeitos do Δ (Delta) são números quadrados perfeitos ímpares;
| Diagonais de Polígonos | ||||
|---|---|---|---|---|
| e valores do (Delta) Δ | ||||
| Ordem/ | Quant. | Polígonos | Equação | (Delta) Δ |
| posição | diagonais | an2 - 3n + c = 0 | ||
| 0 | 0 | Triângulo | n2 - 3n - 0 = 0 | 9 |
| 1 | n2 - 3n - 1 = 0 | irracional | ||
| 2 | n2 - 3n - 2 = 0 | irracional | ||
| 3 | n2 - 3n - 3 = 0 | irracional | ||
| 4 | 2 | Quadrilátero | n2 - 3n - 4 = 0 | 25 |
| 5 | n2 - 3n - 5 = 0 | irracional | ||
| 6 | n2 - 3n - 6 = 0 | irracional | ||
| 7 | n2 - 3n - 7 = 0 | irracional | ||
| 8 | n2 - 3n - 8 = 0 | irracional | ||
| 9 | n2 - 3n - 9 = 0 | irracional | ||
| 10 | 5 | Pentágono | n2 - 3n - 10 = 0 | 49 |
| 11 | n2 - 3n - 11 = 0 | irracional | ||
| 12 | n2 - 3n - 12 = 0 | irracional | ||
| 13 | n2 - 3n - 13 = 0 | irracional | ||
| 14 | n2 - 3n - 14 = 0 | irracional | ||
| 15 | n2 - 3 n - 15 = 0 | irracional | ||
| 16 | n2 - 3 n - 16 = 0 | irracional | ||
| 17 | n2 - 3n - 17 = 0 | irracional | ||
| 18 | 9 | Hexágono | n2 - 3n - 18 = 0 | 81 |
| 19 | n2 - 3n - 19 = 0 | irracional | ||
| 20 | n2 - 3 n - 20 = 0 | irracional | ||
| 21 | n2 - 3n - 21 = 0 | irracional | ||
| 22 | n2 - 3n - 22 = 0 | irracional | ||
| 23 | n2 - 3n - 23 = 0 | irracional | ||
| 24 | n2 - 3n - 24 = 0 | irracional | ||
| 25 | n2 - 3n - 25 = 0 | irracional | ||
| 26 | n2 - 3n - 26 = 0 | irracional | ||
| 27 | n2 - 3n - 27 = 0 | irracional | ||
| 28 | 14 | Heptágono | n2 - 3n - 28 = 0 | 121 |
| 29 | n2 - 3n - 29 = 0 | irracional | ||
| 30 | n2 - 3 n - 30 = 0 | irracional | ||
| 31 | n2 - 3n - 31 = 0 | irracional | ||
| 32 | n2 - 3n - 32 = 0 | irracional | ||
| 33 | n2 - 3n - 33 = 0 | irracional | ||
| 34 | n2 - 3n - 34 = 0 | irracional | ||
| 35 | n2 - 3n - 35 = 0 | irracional | ||
| 36 | n2 - 3n - 36 = 0 | irracional | ||
| 37 | n2 - 3n - 37 = 0 | irracional | ||
| 38 | n2 - 3n - 38 = 0 | irracional | ||
| 39 | n2 - 3n - 39 = 0 | irracional | ||
| 40 | 20 | Octógono | n2 - 3n - 40 = 0 | 169 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Autor: Ricardo Silva - setembro / 2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
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